Implicit Lyapunov methods for analysis and synthesis of superexponentially stable systems
Méthodes implicites de Lyapunov pour l'analyse et la synthèse de systèmes superexponentiellement stables
Résumé
One of the most important performance indices for an automatic control system is the speed
of response which refers to the time taken by the system to respond to the given input or external
disturbance. Achieving fast response is a challenging engineering problem, for the solution of which
various control design methods are developed. For example, in the simplest case, the settling time
of a control system can be reduced by appropriately increasing the feedback gains of a linear static
controller. However, increasing the speed of response in such a way leads to transient oscillations of
considerable amplitude or even to the loss of stability in the case of time-delay systems. An alternative
way of achieving the required performance is to design a nonlinear control system. Compared to their
linear counterparts, nonlinear controllers allow one not only to significantly accelerate the speed of
response but also to guarantee the finite-time decay of the transients. However, due to the complexity of
the stability analysis of nonlinear systems, algorithms for calculating the nonlinear controller (observer)
parameters either do not exist at all or are applicable only for low-order systems. Therefore, the objective
of the research was to develop a simple and constructive way of nonlinear control design. To this end,
the Implicit Lyapunov method, which is based on the study of a Lyapunov function implicitly defined
by some nonlinear algebraic equation, was chosen as the main tool for stability analysis in the thesis.
Due to the implicit formulation, sufficient stability conditions for nonlinear control systems can be
presented in the form of linear matrix inequalities, which can be numerically checked very efficiently
using appropriate mathematical software. As a result, the calculation of the controller (observer)
parameters, which ensure the required performance of the closed-loop system, is significantly simplified.
To demonstrate the advantages and capabilities of the Implicit Lyapunov method, several problems
related to superexponential (hyperexponential and finite/fixed-time) stabilization and state estimation
of dynamical systems have been solved in the thesis.
Firstly, a Razumikhin-like method has been proposed for hyperexponential and fixed-time stability
analysis of retarded time-delay systems. Differently from the original Lyapunov-Razumikhin method,
the proposed approach allows one not only to study the stability of a time-delay system but also to
estimate the speed at which trajectories of the system converge to the equilibrium point. However,
due to the complexity of formulating Razumikhin-like sufficient conditions for hyperexponential and
fixed-time stability by means of a single function, in the proposed method, stability analysis is carried
out in two steps using a different Lyapunov-Razumikhin function for each of them. First, it is proven
that any trajectory of the system enters a specified closed region centered at the origin in finite time and
never leaves it again. Then, the second function is used to show that once the trajectories are within
the specified region, they will converge to the origin hyperexponentially or in fixed time, respectively.
Furthermore, to make the proposed method more suitable for the nonlinear control design, Implicit
Lyapunov-Razumikhin theorems have also been formulated. The advantage of the implicit formulation
has been illustrated by solving the problems of hyperexponential and fixed-time stabilization of a special
subclass of time-delay systems. It has been shown that, under some nonrestrictive assumptions, both
problems can be easily solved by using the same nonlinear controller that stabilizes the corresponding
delay-free system in fixed time. Applying the developed Implicit Lyapunov-Razumikhin method for
stability analysis of the closed-loop system, the tuning of the nonlinear controller parameters, which
guarantee superexponential stabilization with the required speed, was reduced to verification of linear
matrix inequalities. The obtained theoretical results have been supported by numerical simulation of
the designed control system for different initial conditions and time delays.
Secondly, the notion of practical fixed-time input-to-state stability has been introduced for neutral
time-delay systems with external bounded disturbances and characterized by the Lyapunov-Krasovskii
method, which has been formulated both explicitly and implicitly. Based on the obtained theoretical
results, an alternative way of robust output practical fixed-time stabilization of linear systems in the
controllable canonical form has been proposed. To this end, the state vector was first approximated by
means of the finite difference method, i.e., based on the past values of the output signal. Differently
from the observer-based approaches, the finite-difference approximation scheme does not require
solving additional differential equations in real time, which simplifies its practical implementation.
Then, a nonlinear controller was designed to practically stabilize the system in fixed time. To achieve
fast stabilization, the nonlinear degree of the feedback is dynamically changed depending on how far
from the origin trajectories of the closed-loop system are. To apply the developed Lyapunov-Krasovskii
method, it has been shown that the closed-loop system has a neutral time-delay representation due to
the special integral relation between the state and its finite-difference approximation. Using the formulated Implicit Lyapunov-Krasovskii theorem, sufficient stability conditions for the designed nonlinear
control system were presented in the form of linear matrix inequalities, solutions of which are used for
the calculation of the controller parameters. Furthermore, the impact of the artificially induced time
delay on the stabilization accuracy has also been quantitatively studied. Finally, it has been theoretically
proven and numerically illustrated that, both in the disturbance-free and disturbed cases, the proposed
nonlinear controller stabilizes the considered system in the vicinity of the origin much faster than its
linear counterpart.
Thirdly, the problem of robust output finite-time stabilization of linear systems under state constraints has been addressed. Geometrically, the considered class of state constraints represents a closed
region (hyperoctahedron, hypersphere or hypercube) centered at the origin, within which trajectories
of the closed-loop system must remain. To solve the problem, a nonlinear Luenberger-like observer
was first designed using the Implicit Lyapunov method in order to reconstruct the state vector in finite
time. Then, a continuous control law was proposed, which is linear when trajectories of the closed-loop
system risk violating the state constraints, and nonlinear otherwise. The linear feedback was chosen to
make the closed-loop system matrix Hurwitz and diagonally dominant. Due to this, trajectories of the
closed-loop system not only exponentially converge to the origin but also do not leave the specified
region. Once the trajectories reach the switching surface, the nonlinear feedback is used to accelerate
the convergence rate, namely, to stabilize the system in finite time. However, differently from the
finite-time observer, the practical implementation of the finite-time controller requires the online computation of the Implicit Lyapunov function. Since the analytical solution of the corresponding nonlinear equation cannot be found in the general case, the bisection method was used to numerically calculate
the Implicit Lyapunov function. Compared to the existing methods of stabilization of dynamical systems
under state constraints based on control barrier functions and barrier Lyapunov functions, the tuning
of the proposed nonlinear control system is extremely simple: the observer and controller parameters
are found from the solutions of linear matrix inequalities and equations. Numerical simulation of the
designed control system has shown that, for sufficiently small external disturbances, the linear system
is stabilized in finite time without violating the state constraints.
Therefore, the thesis has demonstrated how various problems related to superexponential stabilization and state estimation of dynamical systems can be effectively solved using the Implicit Lyapunov
method and its modifications. Compared to existing methods of nonlinear control design, the main
advantage of the developed approach is that all parameters of a nonlinear controller (observer) can be
numerically calculated by solving linear matrix inequalities and equations. Such a simple computation
method provides a constructive way for tuning the control parameters to achieve the required speed of
response and/or robustness with respect to external bounded disturbances. However, the automatic
control systems designed using the implicit Lyapunov method are not without drawbacks. On the one
hand, the practical implementation of the controller generally requires the online computation of the
Implicit Lyapunov function by means of numerical root-finding methods (e.g., the bisection method),
which increases the computational complexity of the control algorithm. On the other hand, despite the
relatively simple implementation of the finite-time observer, the calculation of its parameters becomes
more complicated due to the need to check a parameterized matrix inequality (e.g., using the iterative
algorithm proposed in the thesis). Thus, one of the possible directions for future research could be
modifying the structure of the controller and the observer in order to simplify their implementation and
tuning, respectively. Finally, in addition to improving the proposed control schemes, it is also essential
to evaluate their performance in practice and compare them with existing approaches (e.g., PID or
model predictive control).
L’un des indices de performance les plus importants pour un système de contrôle automatique
est la vitesse de réponse, qui correspond au temps mis par le système pour répondre à une entrée
donnée ou à une perturbation externe. L’obtention d’une réponse rapide est un problème d’ingénierie
difficile, pour la solution duquel diverses méthodes de conception d’une commande automatique sont
développées. Par exemple, dans le cas le plus simple, le temps d’établissement d’un système de contrôle
peut être réduit en augmentant de manière appropriée les gains de rétroaction d’un contrôleur statique
linéaire. Cependant, l’augmentation de la vitesse de réponse de cette manière conduit à des oscillations
transitoires d’une amplitude considérable, voire à la perte de stabilité dans le cas de systèmes à retard. Une autre façon d’obtenir les performances requises consiste à concevoir un système de contrôle
non linéaire. Par rapport à leurs homologues linéaires, les contrôleurs non linéaires permettent non
seulement d’accélérer considérablement la vitesse de réponse mais aussi de garantir la décroissance en
temps fini des transitoires. Cependant, en raison de la complexité de l’analyse de stabilité des systèmes
non linéaires, les algorithmes de calcul des paramètres d’un contrôleur (observateur) non linéaire
n’existent pas du tout ou ne sont applicables que pour les systèmes d’ordre inférieur. Par conséquent,
l’objectif de la recherche était de développer une méthode simple et constructive de conception d’une
commande automatique non linéaire. À cette fin, la méthode implicite de Lyapunov, qui est basée
sur l’étude d’une fonction de Lyapunov définie implicitement par une certaine équation algébrique
non linéaire, a été choisie comme outil principal pour l’analyse de stabilité dans la thèse. Grâce à la
formulation implicite, les conditions de stabilité suffisantes pour les systèmes de contrôle non linéaires
peuvent être présentées sous la forme d’inégalités matricielles linéaires, qui peuvent être vérifiées numériquement de manière très efficace en utilisant un logiciel mathématique approprié. Par conséquent,
le calcul des paramètres du contrôleur (observateur), qui assurent la performance requise du système
en boucle fermée, est considérablement simplifié. Pour démontrer les avantages et les capacités de
la méthode implicite de Lyapunov, plusieurs problèmes liés à la stabilisation et à l’estimation d’état
superexponentielle (hyperexponentielle et en temps fini/fixe) des systèmes dynamiques ont été résolus
dans la thèse.
Premièrement, une méthode de type Razumikhin a été proposée pour l’analyse de la stabilité
hyperexponentielle et en temps fixe des systèmes à retard. Contrairement à la méthode originale de
Lyapunov-Razumikhin, l’approche proposée permet non seulement d’étudier la stabilité d’un système
à retard mais aussi d’estimer la vitesse à laquelle les trajectoires du système convergent vers le point
d’équilibre. Cependant, en raison de la complexité de la formulation des conditions suffisantes de type
Razumikhin pour la stabilité hyperexponentielle et en temps fixe au moyen d’une seule fonction, dans
la méthode proposée, l’analyse de la stabilité est effectuée en deux étapes en utilisant une fonction de
Lyapunov-Razumikhin différente pour chacune d’elles. Tout d’abord, il est prouvé que toute trajectoire
du système entre dans une région fermée spécifiée centrée sur l’origine en temps fini et ne la quitte
plus jamais. Ensuite, la deuxième fonction est utilisée pour montrer qu’une fois que les trajectoires
sont dans la région spécifiée, elles convergent vers l’origine de manière hyperexponentielle ou en
temps fixe, respectivement. En outre, pour rendre la méthode proposée plus adaptée à la conception
d’une commande automatique non linéaire, les théorèmes implicites de Lyapunov-Razumikhin ont
également été formulés. L’avantage de la formulation implicite a été illustré en résolvant les problèmes
de stabilisation hyperexponentielle et en temps fixe d’une sous-classe spéciale de systèmes à retard.
Il a été démontré que, sous certaines hypothèses non restrictives, les deux problèmes peuvent être
facilement résolus en utilisant le même contrôleur non linéaire qui stabilise le système sans retard
correspondant en temps fixe. En appliquant la méthode implicite de Lyapunov-Razumikhin développée
pour l’analyse de stabilité du système en boucle fermée, le réglage des paramètres du contrôleur
non linéaire, qui garantit la stabilisation superexponentielle avec la vitesse requise, a été réduit à la
vérification d’inégalités matricielles linéaires. Les résultats théoriques obtenus ont été étayés par la
simulation numérique du système de contrôle conçu pour différentes conditions initiales et différents
retards.
Deuxièmement, la notion de stabilité entrée-état pratique en temps fixe a été introduite pour les
systèmes à retard de type neutre avec des perturbations externes bornées et caractérisées par la méthode
de Lyapunov-Krasovskii, qui a été formulée à la fois explicitement et implicitement. Sur la base des
résultats théoriques obtenus, une méthode alternative de stabilisation en temps fixe, robuste et pratique,
des systèmes linéaires sous la forme canonique commandable a été proposée. À cette fin, le vecteur
d’état a d’abord été approximé au moyen de la méthode des différences finies, c’est-à-dire sur la base
des valeurs passées du signal de sortie. Contrairement aux approches basées sur les observateurs, le
schéma d’approximation par différences finies ne nécessite pas la résolution d’équations différentielles
supplémentaires en temps réel, ce qui simplifie sa mise en œuvre pratique. Ensuite, un contrôleur
non linéaire a été conçu pour stabiliser pratiquement le système en temps fixe. Pour obtenir une
stabilisation rapide, le degré non linéaire de la rétroaction est modifié dynamiquement en fonction
de la distance par rapport à l’origine des trajectoires du système en boucle fermée. Pour appliquer
la méthode de Lyapunov-Krasovskii développée, il a été démontré que le système en boucle fermée
est un système à retard de type neutre en raison de la relation intégrale spéciale entre l’état et son
approximation en différence finie. En utilisant le théorème implicite de Lyapunov-Krasovskii formulé,
des conditions de stabilité suffisantes pour le système de contrôle non linéaire conçu ont été présentées
sous la forme d’inégalités matricielles linéaires, dont les solutions sont utilisées pour le calcul des
paramètres du contrôleur. De plus, l’impact du retard induit artificiellement sur la précision de la
stabilisation a également été étudié quantitativement. Enfin, il a été prouvé théoriquement et illustré
numériquement que, tant dans les cas sans perturbation que dans les cas perturbés, le contrôleur non
linéaire proposé stabilise le système considéré au voisinage de l’origine beaucoup plus rapidement que
son homologue linéaire.
Troisièmement, le problème de la stabilisation robuste en temps fini de la sortie de systèmes linéaires
sous contraintes d’état a été abordé. Géométriquement, la classe de contraintes d’état considérée
représente une région fermée (hyperoctaèdre, hypersphère ou hypercube) centrée à l’origine, dans
laquelle les trajectoires du système en boucle fermée doivent rester. Pour résoudre le problème, un
observateur non linéaire de type Luenberger a d’abord été conçu en utilisant la méthode implicite de
Lyapunov afin de reconstruire le vecteur d’état en temps fini. Ensuite, une loi de commande continue
a été proposée, qui est linéaire lorsque les trajectoires du système en boucle fermée risquent de violer
les contraintes d’état, et non linéaire dans le cas contraire. La rétroaction linéaire a été choisie pour
que la matrice du système en boucle fermée soit de Hurwitz et à diagonale dominante. De ce fait, les
trajectoires du système en boucle fermée convergent non seulement de manière exponentielle vers
l’origine mais ne quittent pas non plus la région spécifiée. Une fois que les trajectoires atteignent la
surface de commutation, la rétroaction non linéaire est utilisée pour accélérer le taux de convergence,
c’est-à-dire pour stabiliser le système en temps fini. Cependant, contrairement à l’observateur en temps
fini, la mise en œuvre pratique du contrôleur en temps fini nécessite le calcul en ligne de la fonction
implicite de Lyapunov. Comme la solution analytique de l’équation non linéaire correspondante ne peut
être trouvée dans le cas général, la méthode de la bissection a été utilisée pour calculer numériquement
la fonction implicite de Lyapunov. Par rapport aux méthodes existantes de stabilisation des systèmes
dynamiques sous contraintes d’état basées sur les fonctions de barrière de contrôle et les fonctions de
barrière de Lyapunov, le réglage du système de contrôle non linéaire proposé est extrêmement simple :
les paramètres de l’observateur et du contrôleur sont trouvés à partir des solutions des inégalités et des
équations matricielles linéaires. La simulation numérique du système de contrôle conçu a montré que,
pour des perturbations externes suffisamment petites, le système linéaire est stabilisé en temps fini
sans violer les contraintes d’état.
Par conséquent, la thèse a démontré comment divers problèmes liés à la stabilisation et à l’estimation
d’état superexponentielle des systèmes dynamiques peuvent être résolus efficacement en utilisant la
méthode implicite de Lyapunov et ses modifications. Par rapport aux méthodes existantes de conception
d’une commande automatique non linéaire, le principal avantage de l’approche développée est que
tous les paramètres d’un contrôleur (observateur) non linéaire peuvent être calculés numériquement
en résolvant des inégalités et des équations matricielles linéaires. Une méthode de calcul aussi simple
offre un moyen constructif de régler les paramètres de commande afin d’obtenir la vitesse de réponse
requise et/ou la robustesse par rapport à des perturbations externes bornées. Cependant, les systèmes
de contrôle automatique conçus à l’aide de la méthode implicite de Lyapunov ne sont pas sans inconvénients. D’une part, la mise en œuvre pratique du contrôleur nécessite généralement le calcul en ligne
de la fonction implicite de Lyapunov au moyen de méthodes numériques de recherche d’un zéro d’une
fonction (par exemple, de la méthode de la bissection), ce qui augmente la complexité de calcul de
l’algorithme de contrôle. D’autre part, malgré la mise en œuvre relativement simple de l’observateur en
temps fini, le calcul de ses paramètres devient plus compliqué en raison de la nécessité de vérifier une
inégalité matricielle paramétrée (par exemple, en utilisant l’algorithme itératif proposé dans la thèse).
Ainsi, une des directions possibles pour les recherches futures pourrait être de modifier la structure du
contrôleur et de l’observateur afin de simplifier leur implémentation et leur réglage, respectivement.
Enfin, en plus d’améliorer les schémas de contrôle proposés, il est également essentiel d’évaluer leurs
performances dans la pratique et de les comparer aux approches existantes (par exemple, au contrôle
PID ou à la commande prédictive).
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